竞技宝官网app·几何世界里有个不用外部观测即可得知形状的“神奇定理

　　我们一眼就能看出球面和双曲面等二维平面是弯曲的。不过既然我们生活在二维平面内，又怎么能知道平面的弯曲程度呢？

　　19 世纪的英国作家埃德温·艾勃特在其小说《平面国》中描述了二维平面世界的模样。该小说的主人公 A. Square 和在三维空间中自由运动的“球”成为了朋友，并接受“球”的邀请来到了三维世界，才发现自己生活的世界是一个平面世界。A. Square 因为突然进入了三维世界才意识到平面国是平面世界，除此之外是否还有其他方法能够理解平面国的形状？

　　1818 年，高斯应汉诺威国王之邀对其领地进行了三角测量。三角测量是指先将需要测量的土地分割成三角形，然后通过测量每个三角形的边长和角度来判定土地形状和面积大小的方法。而且为了测量土地，高斯发明了新工具（日光反射仪）。在欧洲引入欧元前，德国流通的 10马克纸币的正面印着高斯肖像，背面印着汉诺威王国领地的三角形分割和日光反射仪（图 6-16）。

　　高斯利用汉诺威王国的三角测量数据计算了 Hohen Hagen、Brocken以及 Inselsberg 这三座山所构成的三角形的内角和。既然我们已经知道球面三角的内角和与180°存在偏差，那么代入三角形内角和公式

　　应该能计算出地球的半径 r。这也许就是当时高斯想要确认的。遗憾的是，当时因为测量精度不够，最终无法计算出微小的角度偏差。不过这个测量二维平面形状的方法，给了高斯重要的启发。

　　我们先联想一张平整的纸，在这张纸上可以使用欧几里得几何。而且三角形内角和等于180°，所以平行公理也成立。然后我们将纸折弯或者拧转，除非纸破了或者变大了，否则二维平面内两点之间的距离不会发生变化。因此仍然可以使用欧几里得几何。例如在纸上写下勾股定理的证明过程，即使纸被折弯或者拧转了，定理的证明过程也不会发生变化。同样，除非住在平坦纸面上的居民离开这张纸，否则他们根本意识不到纸张已经变弯。

　　高斯认为，二维平面的弯曲程度只限于外观。不过，也存在不仅限于外观的弯曲程度。球面、平面、双曲面上的三角形内角和公式均不同。高斯提出了一个叫“曲率”的概念，来区别图形表面的弯曲程度。

　　假设平面国的居民想要了解自己所居住的二维平面是什么形状，因此他们学高斯测量汉诺威王国的领地，对自己居住的世界进行三角测量。如果二维平面的弯曲程度接近球面，那么其三角形内角和应该大于180°，从与180°的偏差中就能推算出球面的半径。反之，内角和就小于180°，弯曲程度接近双曲面。

　　不过，二维平面不仅限于球面和双曲面。还有类似橄榄球的平面，两端的尖头弯曲程度较大，中间部分弯曲程度较小。所以，如果在尖头处做一个三角形，其内角和肯定远大于180°，中间部分的三角形内角和却接近180°。只要测量出内角和与180°的偏差，就能计算出表面的弯曲程度。

　　在橄榄球的表面，作图的位置不同，三角形内角和的数值也不尽相同。为了更准确地测量每个位置的弯曲程度，只要作图时把三角形画小即可。但是如果三角形变小，那么角度的偏差也会变小。回想一下球面三角的内角和计算公式，即

　　时，发现不管是多小的三角形，其数值都不会等于 0。从上述比中思考三角形面积变小的极限就是高斯曲率。

　　橄榄球表面的弯曲程度因位置而不同。橄榄球表面的居民不用从外部观察，就能测量表示弯曲程度大小的高斯曲率。方法就是进行三角测量。只要观察每个三角形的每个点旁边的具体情况，就能判断表面是如球面正面弯曲还是如双曲面负面弯曲，以及当时的弯曲程度的大小。

　　高斯证明了曲面上的几何是由曲率所决定的，并称之为“神奇定理”。也许德国旧 10 马克纸币背面的图形代表的不是汉诺威王国领地的三角测量，而是这条“神奇定理”。

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